Một số định lý tổng quát về tô pô Tô

Một số định lý tổng quát về tô pô Tô_pô

Mọi khoảng đóng trong R có chiều dài hữu hạn là compact. Rộng hơn: Một tập hợp trong R n là compact nếu và chỉ nếu nó đóng và bị chặn. (Xem thêm Định lý Heine-Borel)
Ảnh liên tục của một không gian compact là compact.
Định lý Tychonoff: Tích của các không gian compact là compact.
Mọi dãy điểm trong một không gian mêtric compact có dãy con hội tụ.
Mọi khoảng trong R là liên thông.
Ảnh liên tục của một không gian liên thông (connected space) là liên thông.
Mọi không gian mêtric là không gian Hausdorff, thì cũng là không gian chuẩn tắc và parcompact.
Định lý mêtric hoá cung cấp điều kiện cần và đủ cho một tô pô để trở thành một không gian mêtric.
Định lý mở rộng Tietze: Trong một không gian chuẩn tắc, mọi hàm có giá trị thực liên tục xác định trên một không gian con đóng đều có thể mở rộng thành một hàm liên tục xác định trên toàn bộ không gian đó.
Định lý phạm trù Baire: Nếu X là một không gian metric đủ hay là một không gian Hausdorff compact địa phương, thì hội đếm được của các tập không đâu trù mật có phần trong là tập trống.
Mọi không gian đường liên thông, đường liên thông địa phương, và đơn liên bán địa phương đều có một phủ phổ dụng.

Tài liệu tham khảo